Schwingungen verstehen.

Fadenpendel: Punktmasse an masseloser, starrer Verbindung. θ̈ = −g/L · sin θ − (b/m) θ̇ − (cL/m) θ̇|θ̇|. Keine Kleinwinkelnäherung in der Integration. Bei 180° und Ruhe liegt ein instabiles Gleichgewicht vor; die Periodendauer divergiert. Ein echter Faden kann oberhalb seiner Zuggrenze erschlaffen; dieses Modell bildet das nicht ab. Ein ausgedehnter starrer Pendelkörper benötigt zusätzlich sein Trägheitsmoment und ist hier nicht modelliert.

Feder: x wird ab der Gleichgewichtslage gemessen; vertikal ist diese um mg/k gegenüber der unbelasteten Lage verschoben. m ẍ + b ẋ + c ẋ|ẋ| + kx = F₀ cos(ωₑ t). Potentielle Energie ist auf die Gleichgewichtslage bezogen. Das Hooke-Modell besitzt keine Bruch- oder Dehnungsgrenze.

Doppelpendel: Massen m₁ und m₂ und Längen L₁ und L₂ sind unabhängig. Luftwiderstand wirkt auf die tatsächliche Geschwindigkeit jeder Masse. Der Phasenraum zeigt wahlweise θ₁/ω₁, θ₂/ω₂ oder beide; Energien gelten für das gesamte System. Horizontal dreht die Kamera samt Gravitationsrichtung, nicht die Modellphysik. Das Vergleichspendel folgt denselben Gleichungen mit einem geringfügig anderen Startwinkel. Es erhält keine Zufallsstöße. Chaotische Langzeitbahnen reagieren auch empfindlich auf numerische Rundungsfehler.

RK4 mit Teilschritten höchstens 1/240 s, bei schneller Bewegung kleiner. Rendern und Physikzeit sind entkoppelt. Die theoretische Pendelperiode berücksichtigt Anfangsenergie und große Winkel (elliptisches Integral). ω₀, Q, δ und Λ beim Einzelpendel sind linearisierte Kennwerte; Λ gilt nur im unterkritischen linearen Modell. Kritische Dämpfung bezieht sich auf kleine Auslenkungen. Für quadratische Dämpfung gibt es hier keinen analytischen Resonanzgang.

Gemessene Perioden entstehen aus zwei aufeinanderfolgenden Nulldurchgängen in positiver Richtung. Beim Doppelpendel sind dies lokale Rückkehrzeiten. Bei Erregung wächst E_ges entsprechend der zugeführten Arbeit; erhalten bleibt die angezeigte Bilanz.

Gekoppelte Federn: Jede Masse besitzt eine Feder k zur festen Umgebung; die mittlere Feder k꜀ koppelt die Auslenkungen. Vertikal werden die statischen Gleichgewichtslagen bereits abgezogen. Es gibt keine Kollisionen. Die zwei Normalfrequenzen gelten ohne Reibung.

Elastisches Pendel: Kartesische Integration einer Masse an einer Hooke-Feder mit Ruhelänge L; Gravitation nach unten. Die Anfangslänge beträgt L + mg/k + zusätzliche Dehnung. Angezeigt werden x/vₓ und y/vᵧ. Am exakt zusammengefallenen Federende ist die Richtung undefiniert; dort stoppt die Berechnung.

Duffing: Potential V(x) = −kx²/2 + βx⁴/4 + k²/(4β), zwei Minima bei ±√(k/β). Die gezeigte Koordinate ist relativ zum Modellmittelpunkt; bei vertikaler Darstellung wird ein bereits kompensierter Gewichtskraftanteil angenommen. Die Darstellung ist ein effektives nichtlineares Oszillatormodell, keine ideale Hooke-Feder. Duffing-Oszillator · Scholarpedia.

Phasenarchiv: 20 Punkte pro Simulationssekunde, ohne rollendes Zeitfenster. Die goldene Anfangslinie und der weiße Startring bleiben erhalten. Parameteränderung oder Reset beginnt ein neues Experiment; „Verlauf löschen“ startet das Archiv bewusst neu. Die Ansicht „letzte 20 Sekunden“ löscht keine Daten. Bei 100.000 Punkten pausiert die Simulation, statt den Anfang zu überschreiben. Exportiere den Verlauf vor dem Zurücksetzen. Das Archiv bleibt im aktuellen Browser-Tab, ein Neuladen löscht es.

Für gekoppelte oder nichtlineare Systeme sind „kritische Dämpfung“ und eine einzelne Güte nicht allgemein definiert. Verwende dort eigene Reibungswerte. Bewegungsspuren verblassen unabhängig vom dauerhaft gespeicherten Phasenraum.

Herleitung des Doppelpendels: myPhysicsLab / Erik Neumann.